Телефон: +7 (383)-235-94-57

РЕЗОНАНСНАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗАННЫХ КАНАЛОВ В ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ D + 3HE В ОКРЕСТНОСТИ ЭНЕРГИИ СОСТОЯНИЯ (3/2)+ ЯДРА 5LI

Опубликовано в журнале: Менделеев №3(3)

Автор(ы): Годес Александр Игоревич, Шаблов Владимир Леонидович

Рубрика журнала: Теоретическая и прикладная физика

Статус статьи: Опубликована 25 сентября

DOI статьи: 10.32743/2658-6495.2019.3.3.157

Библиографическое описание

Годес А.И., Шаблов В.Л. РЕЗОНАНСНАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗАННЫХ КАНАЛОВ В ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ D + 3HE В ОКРЕСТНОСТИ ЭНЕРГИИ СОСТОЯНИЯ (3/2)+ ЯДРА 5LI // Менделеев: эл.научный журнал. –2019 – №3(3). URL: https://mendeleevjournal.ru/archive/3/157 (дата обращения: 20.10.2019). DOI: 10.32743/2658-6495.2019.3.3.157

Годес Александр Игоревич

аспирант Обнинский институт атомной энергетики,

РФ, гОбнинск

Шаблов Владимир Леонидович

д-р физ.-мат. наук, проф. Обнинский институт атомной энергетики,

РФ, гОбнинск

 

RESONANСЕ COUPLED CHANNEL МОДЕL IN THE D + 3HE SCATTERING PROBLEM IN THE ENERGY REGION OF THE  5LI (3/2)+  STATE

 

Alexander Godes

graduate student of Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering National Research Nuclear University MEPHI,

Russia, Obninsk

Vladimir Shablov

Dr. Sci. (Physics), professor of Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering, National Research Nuclear University MEPHI,

Russia, Obninsk

 

АННОТАЦИЯ

Резонансная модель связанных каналов применена к описанию низкоэнергетического d + 3He рассеяния, анализу неопределенностей в данных по сечению реакции синтеза d + 3He → p + 4He  и определению параметров резонансного и теневого полюсов S-матрицы рассеяния, отвечающих состоянию (3/2)+ ядра 5Li.

ABSTRACT

The resonance coupled channel model is applied to the description of low-energy d + 3He scattering,  the analysis of uncertainties in the cross section for the synthesis reaction d + 3He → p + 4He  and the determination of the parameters of the resonance and shadow poles of the S-scattering matrix corresponding to the   5Li (3/2)+ state

 

Ключевые слова: термоядерные реакции, резонансная модель связанных каналов, полюса S-матрицы, резонансный и теневой полюса, состояние J π = (3/2)+ ядра 5Li.

Keywords: thermonuclear reactions, resonance coupled-channel model, effective range approximation, S-matrix poles, resonance and shadow poles, J π = (3/2)+ state of  5Li.

 

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, для описания околопороговых ядерных резонансов используются различные теоретические подходы, среди них которых можно выделить две основные группы. К первой группе относятся модели типа приближения Брейта – Вигнера [10] (к ним относится R – матричная теория, формальная теория резонансов и т.д.), в которых необходимое пороговое поведение амплитуд (сечений) процессов учитывается введением парциальных ширин распада (или приведенных ширин, как в случае R – матричного подхода), зависящих от энергии [4,11,12]. Ко второй группе относятся метод эффективного радиуса (приближение Ландау-Смородинского-Бете [7-8,10,15,]), который оперирует с модельно – независимыми параметрами, такими как ядерно – кулоновская длина рассеяния и эффективный радиус, причем в случае рассеяния составных частиц эти параметры становятся, вообще говоря, комплексными величинами. Данные реакции представляют интерес как с фундаментальной точки зрения, поскольку такие реакции являются источником информации о структуре участвующих частиц и о динамике взаимодействия ядер, так и с практической, поскольку многие из этих реакций представляют интерес с точки зрения использования в проблеме УТС.

В случае процессов d + 3H и d + 3He с образованием околопороговых резонансов Jπ = (3/2)+ зеркальных ядер 5He и 5Li для описания амплитуд и сечений упругих и неупругих процессов использовались различные подходы, включая вышеперечисленные, а также специально разработанные.  В частности, для реакции d + 3H → a + n была разработана резонансная модель связанных каналов (RCCM) [16], которая позволила хорошо описать как экспериментальные данные по реакции синтеза [17], так и по упругому d - 3He – рассеянию [1]. Резонансная модель связанных каналов позволила изучить аналитические свойства элементов многочастичной S-матрицы рассеяния, в частности, определить местоположение резонансного и теневого полюсов. Было установлено, что эта модель приводит к тем же значениям параметров резонансного и теневого полюсов, что и R-матричный подход [16], а теневой полюс располагается на листе римановой поверхности комплексных волновых чисел k=k1+ik2, определяемом условием k1<0, k2>0. Следует отметить, что в ряде других работ [7] теневой полюс располагался на листе, определяемом условием kj<0, j=1,2.  Корректная информация о параметрах резонансного и теневого полюсов необходима для описания поведения ядра 5He (Jπ = (3/2)+) в многочастичных процессах, в том числе мюонного катализа, проблемой которого много занимались двое из авторов RCCM (Л.Н.Богданова и В.Е.Маркушин). Хотя RCCM по смыслу этой модели можно применить к другим бинарным реакциям, протекающим через резонанс, это не было сделано.

Как уже упоминалось выше, околопороговые резонансные ядерные реакции могут рассматриваться в рамках безмодельного подхода- приближения эффективного радиуса для систем заряженных частиц, применение которого в случае низкоэнергетических реакций d + 3H и d + 3He было осуществлено в [2,7,8]. Хотя приближение эффективного радиуса успешно описывает указанные реакции и родственные им, оно не оперирует с традиционными для резонансного рассеяния величинами-резонансной энергией и шириной резонанса. Однако, как было установлено в работе [5] между параметрами приближения эффективного радиуса и RCCM существует аналитическая связь, что означает эквивалентность этих подходов.

Целью настоящей работы является систематическое применение резонансной модели связанных каналов к изучению низкоэнергетического d + 3He рассеяния, в частности процессов упругого рассеяния и реакций синтеза, а также определению параметров резонансного и теневого полюсов S-матрицы рассеяния, отвечающих состоянию (3/2)+  ядра 5Li.

 

1.Резонансная модель связанных каналов для процесса низкоэнергетического d + 3He рассеяния и ее связь с приближением эффективного радиуса

В рамках резонансной модели связанных каналов элемент S – матрицы рассеяния S11, отвечающий рассеянию в паре заряженных частиц, имеет вид [5,16]

 ,                                               (1)

где K2 = 2m(E + i0)/ ħ2, m – приведенная масса системы , – ее кулоновский параметр, – боровский радиус системы. Величины E0, G2, b, g (1) в (2) являются параметрами модели.

Интеграл I(E) имеет вид

,                                             (2)

Из (2) выясняется, что ширина G1(E)=-2Im I(E) равна

                                         (3)

– гамовский множитель, и, следовательно, имеет правильное пороговое поведение [4,9,11]. Сечение реакции d + 3He ® a + p  с учетом спиновых множителей представляется в виде

,                                            (4)

 или с учетом (1)

,                               (4’)

причем  .

Как было показано в [5], интеграл I(E) (2) может быть вычислен в явном виде с помощью формулы Бине для ψ – функции (логарифмической производной гамма-функции) [3]

,                             (5)

(Re z>0).

Соответствующий результат имеет вид

,                                                    (6)

где

                              (7)

Как следствие, выражение E-E0-gI(E)+iG2/2 можно записать как

                                                                    (8)

где функция w(K) равна

.    (9)

Таким образом, полюса S – матрицы рассеяния на нефизическом листе волновых чисел есть нули заданной в явном аналитической функции w(K) при

K = k1 – ik2, arg K < 0.  

Как было показано в [5], результат (9) позволяет установить связь резонансной модели связанных каналов с приближением эффективного радиуса (приближением Ландау – Смородинского – Бете [10,15]) для системы заряженных частиц при наличии поглощения [2,7,8]. В приближении эффективного радиуса для элемента S – матрицы S11(E) вместо (1) записывается следующее выражение:

.                                                          (10)

Ядерно-кулоновский сдвиг d0 задается с помощью соотношения [10,15]

                                             (11)

где a0 – длина рассеяния, r0 – эффективный радиус, D(K) – проницаемость кулоновского барьера

,

причем при наличии поглощения длина рассеяния и эффективный радиус становятся комплексными величинами [7,8].  При этом имеет место равенство [5] 

                          (12)

с функцией j (K2) вида

j(K2) = -ac/a0 + ½ r0 ac K2 = a0 +a1K2 – i(b0 + b1K2).

Таким образом, если в (9) пренебречь членами, пропорциональными K4 и K6, то между параметрами обсуждаемых моделей можно установить связь вида [5]:

                                                       (13)

Отметим, что при необходимости в приближении эффективного радиуса можно учесть и эффекты формы потенциала, т.е. члены, пропорциональные K4 и K6. Вклад этих эффектов легко устанавливается с помощью формул (9) и (13).

2. Описание низкоэнергетического d + 3He рассеяния вблизи уровня (3/2)+  ядра  5Li

Как уже говорилось ранее, резонансную модель связанных каналов, первоначально разработанную для системы d + 3H, можно применить для различных околопороговых ядерных реакций, в частности, для реакции d + 3He → p + 4He.  Данная реакция явилась объектом многочисленных исследований.  В измерениях различных групп авторов имеются расхождения как в местоположении резонансного пика (от 240 до 260 кэВ), так и величине сечения вблизи максимума –от 0.7 до 0.9 барн. Обсуждение этой проблемы дано в [1,2,17,18].  В настоящей работе использовались параметризации из работ [17] и [18]. Параметризация [17] имеет вид:

,                                                              (14)

где Е – энергия в системе центра масс, Bg = 68.7508. Функция S(E) в (14) строится с использованием Паде-аппроксимации:

                                        (15)

Параметры типа  и   заданы следующим образом:

А1 = 5.7501*106,  А2 = 2.5226*103, А3 =4.5566*101

В1 = -3.1995*10-3, В2 = -8.553*10-6, В3 = 5.9014*10-5.

Параметризация экспериментальных данных [18] имеет вид

(мб),                                                     (16)

где   А=1.577*104 , В=3.53, С=0.2921, D=2.411,  F=7.93*10-3, энергия  измеряется в МэВ, причем эта параметризация не имеет правильного порогового поведения и неприменима в области энергий от 0 до ̴ 30 кэВ. Различия между приведенными параметризациями можно видеть на рисунке 1.

 

   Рисунок 1. Сечение реакции d + 3He → p + 4He. Черная линия - параметризация [17], серая линия – параметризация [18], черные точки – резонансная модель связанных каналов с параметрами (18’), серые точки – резонансная модель связанных каналов с параметрами (17’).

 

На основании проведенных расчетных исследований с помощью параметризации [17] были определены параметры приближения эффективного радиуса:

a0 = 0.203  a1 = 0.145  b0 = 0.03  b1 = 4.907*10-3                                            (17)

и параметры резонансной модели связанных каналов:

E0 = 2.580 МэВ  G2 = 0.317 МэВ  b = 0.2915 Фм-1  g = 0.152 МэВ * Фм-4.                       (17’)

Экспериментальные данные из [18] были использованы в работе [8], где на их основе были найдены следующие параметры приближения эффективного радиуса

a0 = 0.1627  a1 = 0.1555  b0 = 0.01631  b1 = 0.008927.                                    (18)

Им соответствуют следующие значения параметров резонансной модели связанных каналов, рассчитанные с помощью формулы (13)

 

E0 = 2.075 МэВ  G2 = 0.269 МэВ  b = 0.252 Фм-1  g = 0.0895 МэВ * Фм-4.                     (18’)

Для дальнейшего найдем астрофизический S – фактор:

,                                                            (19)

который для обсуждаемых параметризаций приведен на рисунке 2.  Видно, что параметризация экспериментальных данных из работы [18] с помощью приближения эффективного радиуса и резонансной модели связанных каналов, в отличие от приведенной в ней, обладает правильным пороговым поведением.

 

Рисунок 2. Астрофизический S – фактор. Обозначения те же, что на рисунке 1.  

 

Как было отмечено в [5,16] для случая низкоэнергетического d-3H рассеяния, экспериментальных данных по сечению реакции синтеза недостаточно для определения истинных параметров теоретических подходов, однако это удается сделать с привлечением данных по упругому

d-3H рассеянию.  Аналогичная ситуация имеет место и в изучаемой задаче. Приведенные выше параметры теоретических подходов выбраны из серии наборов, с высокой точностью (менее 1%) описывающих параметризованное сечение реакции синтеза, и одновременно наилучшим образом описывающих данные по упругому d-3He рассеянию из [1]. В качестве таких данных использовалась зависимость от энергии отношения сечения упругого d-t рассеяния к резерфордовскому сечению при угле рассеяния ϴ=π/2 в системе центра масс [1]:

,               (20)

где ħq – переданный импульс, , S11 – S – матрица упругого d-t рассеяния в s – волне,  – кулоновская S – матрица в s – волне: . При ϴ=π/2 выражение (20) приобретает следующий вид [1,16]:

.              (21)

 

Рисунок3(1)

Рисунок 3. Сравнение отношения сечения упругого d-3He рассеяния к резерфордовскому сечению при ϴц.м. = π/2 с экспериментальными данными [1]. Сплошная линия – резонансная модель связанных каналов с параметрами (17’), штриховая линия – резонансная модель связанных каналов с параметрами (18’).

 

К сожалению, анализ этих данных не позволяет сделать однозначный выбор между наборами экспериментальных данных из [17] и [18] (рисунок 3), хотя данные работы [18] несколько лучше описывают результаты [1], и необходимо привлечение более детальной информации о фазах упругого d + 3He и p + 4He рассеяния. Соответствующему рассмотрению предполагается посвятить отдельное исследование. Обсуждаемая проблема имеет важное значение для корректного определения температурной зависимости скорости реакции синтеза d + 3He → p + 4He. Использующиеся на сегодняшний день в практических задачах (смотри, например, [6,13,14]) аналитические параметризации этой величины  типа паде-аппроксимации [17]  или степенного типа [6] основаны на параметризации сечения реакции синтеза [17].

На основании найденных параметров резонансной модели связанных каналов были найдены полюса S-матрицы рассеяния на нефизическом листе, отвечающих состоянию (3/2)+ ядра5 Li. Параметризация [17] приводит к следующим параметрам для резонансного и теневого полюсов:

KR = (1.380 - i0.416)/ac  ZR = 207.5 – i137.6 (кэВ)

KS = (-1.521 - i0.297)/ac  ZS = 266.7 + i108.3 (кэВ),

что в случае резонанса согласуется с табличными данными из [19], основанными на R-матричном анализе упругого d + 3He и p + 4He рассеяния и реакции синтеза 3He(d,p) 4He:

ZR = 210 – i135 (кэВ).

Если использовать экспериментальные данные [18], то параметры резонансного и теневого полюсов оказываются равными:

KR = (1.383 – i0.443)/ac,   ZR = 205.7 – i146.8 (кэВ)

KS = (1.538 – i0.3)/ac,   ZS = 264.4 + i112.0 (кэВ),

что согласуется с результатами работы [8]. Из приведенных результатов видно, что различия в параметрах полюсов менее 7%, т.е. меньше, чем различия в данных по сечению реакции синтеза в [17,18] в окрестности резонансного максимума.

Заключение

В настоящей работе на примере низкоэнергетического d + 3He рассеяния продемонстрирована возможность применения резонансной модели связанных каналов для описания бинарных резонансных околопороговых реакций и определения характеристик соответствующих резонансных состояний как полюсов S-матрицы рассеяния в этой модели, что эквивалентно нахождению нулей заданной в явном виде простой аналитической функции комплексных импульсов. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ, основанных на приближении эффективного радиуса и R-матричного подхода. Кроме того, результаты работы могут использоваться для устранения неопределенностей в экспериментальных данных по сечению реакции синтеза  d + 3He → p + 4He  и разработке  улучшенных аналитических параметризаций сечения и скорости этой реакции для различных практических применений.

 

Список литературы:

  1. Балашко Ю.Г. Исследования упругого рассеяния заряженных частиц на некоторых легких ядрах при низких энергиях // Труды физического института им. П.Н. Лебедева академии наук СССР. – Том 33. – 1965. – С. 66-126.
  2. Барит И.Я., Сергеев В.А. Анализ резонансных реакций H3(d,n)He4  и He3(d,p)He4  в приближении эффективного радиуса взаимодействия // Труды физического института им. П.Н. Лебедева академии наук СССР. – Том 44. – 1969. – С. 3-15.
  3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. т. 1. – М.: Наука, 1973. – 295 с.
  4. Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. –М., Мир, 1980. –502с.
  5. Годес А.И., Кудрявцева А.С.,  Шаблов  В.Л. Аналитический вариант  резонансной модели связанных каналов для реакции d+t ® α+n и его применение к описанию низкоэнергетического d-t  и d-3He рассеяния // Известия вузов. Ядерная энергетика.-2019.-№2.-С.198-207.
  6. Карбушев Д.Н., Рыжков С.В., Тройник М.К.  Об улучшенных аналитических зависимостях для скоростей энерговыделения и сечений реакций синтеза // Наука и Образование. – 2009. – Т. 4. / [Электронный ресурс].- Режим доступа: URL: http://technomag.edu.ru/doc/117768.html (дата обращения: 31.01.19).
  7. Карнаков Б.М., Мур В.Д., Поздняков С.Г., Попов В.С. Аналитическая структура амплитуды D-T-рассеяния вблизи упругого порога // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. –1990. –т. 51. –вып. 7. –С. 352-355.
  8. Карнаков Б.М., Мур В.Д., Поздняков С.Г., Попов В.С. Полюса и резонансы в низкоэнергетическом рассеянии заряженных частиц // Ядерная физика. -1991. –т. 54. –вып. 2(8). – С.400-403.
  9. Комаров В.В., Попова А.М., Шаблов В.Л. Динамика систем нескольких квантовых частиц. – М.: Издательство МГУ, 1996. – 335 с.
  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика т.3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. – 752 с.
  11. Никитиу Ф. Фазовый анализ в физике сильных взаимодействий. – М.: Мир, 1983. – 416с.
  12. Ситенко А.Г. Теория ядерных реакций.-М: Энергоатомиздат, 1983.-352 с.
  13. Чирков А.Ю. Энергетическая эффективность альтернативных термоядерных систем с магнитным удержанием плазмы // Ядерная физика и инжиниринг.-2013.- т. 4.- с. 1050–1059.
  14. Чирков А.Ю. О возможности использования D–3He-цикла с наработкой 3He в термоядерном реакторе на основе сферического токамака// Журнал технической физики.- 2006.- т. 76.- № 9.-с. 51–54.
  15. Bethe A. H. Theory of the effective range in nuclear scattering // Physical Review.-1949.-V.76. -№1.-P.38-50.
  16. Bogdanova L.N., Hale G.M., Markushin V.E. Analytical structure of  S-matrix for the coupled channel problem D + T ® n +  and the interpretation of the Jp = (3/2)+ resonance in the 5He // Physical  Review C. –1991. –V.44. –n.4. –P. 1289-1295.
  17. Bosch H.S., Hale G.M. Fusion cross-sections and thermal reactivities // Nuclear Fusion. -1992. –V. 32. -№4. – P.620-622.
  18. Moller W., Besenbaher F. A note on the 3He + D nuclear-reaction cross section. // Nuclear instruments and methods. -1980. –P. 111-114. 
  19. Tilley D.R., Cheves C.M., Godwin J.L., Hale G.M., Hofman H.M., Kelley J. H., Sheu C.G., Weller H.R. Energy levels of light nuclei A = 5,6,7 // Nuclear Physics.-2002. –V. A 708. – P. 3-163.